Raiz Triangular

Seja k um número triangular, isto é, um número “que pode ser colocado na forma de um triângulo”, como na figura. k é da forma n(n+1)/2, onde n é um número inteiro estritamente positivo. Ou seja, k nada mais é que a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão 1.

Consideremos a figura acima, construída da seguinte forma: tomamos um quadrado A de lado unitário, e sob ele colocamos dois quadrados iguais (B e C), de modo que os pontos médios do lado superior dos quadrados B e C coincidam com os vértices inferiores do quadrado A. Observe também que os quadrados B e C compartilham um dos lados. Assim procedemos a cada linha, fazendo com que os pontos médios dos segmentos que constituem os lados superiores de cada quadrado da nova linha coincidam com os vértices dos quadrados da linha imediatamente acima, até que tenhamos k quadrados.

A função:

, cujo domínio é o conjunto dos números triangulares ({x | x = n(n+1)/2, n inteiro estritamente positivo}), nos dá a medida do segmento traçado em vermelho. Esse segmento tem como extremos o centro do primeiro quadrado e o centro do último quadrado da última linha. Denomino “centro de um quadrado” o centro das circunferências inscrita e circunscrita ao quadrado.