O Modelo de Brinquedo

A partir das regras de Feynman foi possível simular no Mathematica os valores da amplitude de um espalhamento entre duas partículas A's idênticas gerando outro par de partículas B's.

Esse espalhamento foi calculado a partir de uma toy theory, onde considerou-se a interação de três partículas (A, B e C), de modo que C desempenha o papel de propagador. Além disso, a interação foi modelada segundo os dois possíveis diagramas de primeira ordem do espalhamento:

Figura 1: Diagramas de primeira ordem do espalhamento A + A → B + B, com C sendo o propagador.

Nessa situação, a amplitude do espalhamento corresponde à soma das amplitudes de cada um dos diagramas da figura 1.

Considerando o caso em que A, B e C não apresentam cargas, spin, cores ou polarizações (por isso o nome "brinquedo"), então a amplitude M e a seção de choque diferencial, em unidades naturais, ficam iguais a:

onde o fator 1/2 foi acrescentado à seção de choque diferencial porque as duas partículas do estado final são indistinguíveis; s corresponde ao quadrado da energia do centro de massa.

Para o caso em que m_A = m_B o modelo de brinquedo não distingue mais as partículas finais das iniciais, ou seja, A = B. Desse modo, a partir do CM teremos:

Com isso, a amplitude e a seção de choque diferencial puderam ser reescritas como função do ângulo de espalhamento θ

As demonstrações abaixo ilustram o que acontece com a amplitude e com a seção de choque diferencial à medida que a massa do propagador varia. É possível ver, por exemplo, que a a participação de partículas propagadoras com energia (massa) muito baixa (aproximando-se de zero) no diagrama de primeira ordem do espalhamento geram curvas cada vez mais próximas de divergir. Assim, quando aparecem propagadores sem massa na teoria (fótons, por exemplo) ocorre o que chamamos de divergência infra-vermelha.

Porém, para que a teoria seja bem sucedida a divergência infra-vermelha precisa ser corrigida, caso contrário seria possível que, com mínima energia, se criasse uma partícula propagadora sem massa que promovesse a interação (espalhamento) entre A e B, ou seja, a seção de choque e a amplitude seriam infinitas.

Uma maneira de lidar com tal divergência é impondo uma massa fictícia à partícula propagadora e, posteriormente, calculando o limite quando a massa vai a zero.